问题 解答题

中国篮球职业联赛(CBA)的总决赛采用七局四胜制.当两支实力水平相当的球队进入总决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元,以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元,当两队决出胜负后,求:

(1)组织者至少可以获得多少票房收入?

(2)决出胜负所需比赛场次的均值.

(3)组织者获得票房收入不少于33a万元的概率.

答案

(1)根据题意,采用七局四胜制,分出胜败至少要4局,

则此时组织者可以获得3a+(3a+a)+(3a+2a)+(3a+3a)=18a万元,

即组织者至少可以获得18a万元的票房收入;

(2)根据题意,两支球队的实力水平相当的球队,设两队为甲队、乙队,且甲队、乙队每局取胜的概率为

1
2

设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,则ξ可取的值为4、5、6、7,

ξ=4,即4局分出胜负,包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况,

则P(ξ=4)=2×(

1
2
4=
1
8

ξ=5,即5局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,

甲取胜的概率为C43×(

1
2
4×
1
2
=
1
8
,同理乙取胜的概率为
1
8

则P(ξ=5)=2×

1
8
=
1
4

ξ=6,即6局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,

甲取胜的概率为C53×(

1
2
5×
1
2
=
5
32
,同理乙取胜的概率为
5
32

则P(ξ=6)=2×

5
32
=
5
16

ξ=7,即7局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,

甲取胜的概率为C63×(

1
2
6×
1
2
=
5
32
,同理乙取胜的概率为
5
32

则P(ξ=7)=2×

5
32
=
5
16

决出胜负所需比赛场次的均值为4×

1
8
+5×
1
4
+6×
5
16
+7×
5
16
=
93
16

故决出胜负所需比赛场次的均值为

93
16

(3)进行4场,5场,6场,7场比赛组织者可分别获得票房收入为

18a万元,25a万元,33a万元,42a万元,

故票房收入不少于33a万元的概率P=

5
16
+
5
16
=
5
8

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