中国篮球职业联赛(CBA)的总决赛采用七局四胜制.当两支实力水平相当的球队进入总决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元,以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元,当两队决出胜负后,求:
(1)组织者至少可以获得多少票房收入?
(2)决出胜负所需比赛场次的均值.
(3)组织者获得票房收入不少于33a万元的概率.
(1)根据题意,采用七局四胜制,分出胜败至少要4局,
则此时组织者可以获得3a+(3a+a)+(3a+2a)+(3a+3a)=18a万元,
即组织者至少可以获得18a万元的票房收入;
(2)根据题意,两支球队的实力水平相当的球队,设两队为甲队、乙队,且甲队、乙队每局取胜的概率为;
设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,则ξ可取的值为4、5、6、7,
ξ=4,即4局分出胜负,包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况,
则P(ξ=4)=2×()4=;
ξ=5,即5局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,
甲取胜的概率为C43×()4×=,同理乙取胜的概率为,
则P(ξ=5)=2×=,
ξ=6,即6局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,
甲取胜的概率为C53×()5×=,同理乙取胜的概率为,
则P(ξ=6)=2×=,
ξ=7,即7局分出胜负,包括甲取胜与乙取胜两种情况,
甲取胜的概率为C63×()6×=,同理乙取胜的概率为,
则P(ξ=7)=2×=,
决出胜负所需比赛场次的均值为4×+5×+6×+7×=;
故决出胜负所需比赛场次的均值为.
(3)进行4场,5场,6场,7场比赛组织者可分别获得票房收入为
18a万元,25a万元,33a万元,42a万元,
故票房收入不少于33a万元的概率P=+=