∵lgb+lg（

1

c

）=lgsinA=-lg

2

，A为锐角，

∴

b

c

=sinA=

2

2

，即c=

2

b且A=

π

4

根据余弦定理，得

a²=b²+c²-2bccos

π

4

=b²+2b²-2b×

2

b×

2

2

=b²

∴a=b=

2

2

c，可得△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形

故选：D