（本题满分16分）

（1）∵an+1=

an+bn

2

，b_n+1=

2anbn

an+bn

，

两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，

∴{a_nb_n}为常数列，∴a_nb_n=a₁b₁=4；（2分）

∴bn=

4

an

，

∴an+1=

1

2

(an+

4

an

)＞2，

∴0＜b_n＜2；

（若a_n=2，则a_n+1=2，从而可得{a_n}为常数列与a₁=4矛盾）；（4分）

（2）∵cn=log3

an+2

an-2

，

∴cn+1=log3

an+1+2

an+1-2

=log3

1 2 an+ 2 an +2

1 2 an+ 2 an -2

=log3(

an+2

an-2

)2

=2log3(

an+2

an-2

)，

∴

cn+1

Cn

=

2log3( an+2 an-2 )

log3( an+2 an-2 )

=2，

∴{c_n}为等比数列，

∵c₁=1，∴cn=2n-1．（8分）

（3）由cn=2n-1，知an=2•

32n-1+1

32n-1-1

=2（1+

2

32n-1-1

）=2+

4

32n-1-1

，

令dn=

4

32n-1-1

，数列{d_n}的前n项和为D_n，很显然只要证明Dn≤

8

3

，（n≥2），

∵n≥2，∴32n-1+1≥4．

∵dn=

4

32n-1-1

=

4

(32n-1)2-1

=

4

(32n-x+1)(32n-x-1)

≤

1

4

dn-1，

∴d_n=

4

(32n-1+1)(32n-1)

≤

1

4

dn-1≤(

1

4

)2dn-2≤…≤(

1

4

)n-2d₂，

所以D_n=d₁+（d₂+d₃+…+d_n）≤d1+[1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-2]d2

≤2+

1 2 [1-( 1 4 )n-2]

1- 1 4

=2+

2

3

[1-(

1

4

)n-2]=

8

3

-

2

3

(

1

4

)n-2＜

8

3

，

所以Sn＜2n+

8

3

．（14分）

又a_nb_n=4，b_n＜2，故p_n=4n，且T_n＜2n，

所以Sn+Tn＜2n+

8

3

+2n=4n+

8

3

=pn+

8

3

，n≥2．（16分）