问题 解答题

设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|

对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),

(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足

①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

答案

(1)证明:由绝对值不等式知,

ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y

≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)|

=|x2-x1|+|y2-y1|

=ρ(A,B)

当且仅当(x-x1)•(x2-x)≥0,且(y-y1)•(y2-y)≥0时等号成立.

(2)由ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)得

(x-x1)•(x2-x)≥0且(y-y1)•(y2-y)≥0  (Ⅰ)

由ρ(A,C)=ρ(C,B)得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(Ⅱ)

因为A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,则:1°若x1=x2且y1≠y2

不妨设y1<y2,由(Ⅰ)得x=x1=x2,且y1≤y≤y2

由(Ⅱ)得y=

y1+y2
2

此时,点C是线段AB的中点,即只有点C(

x1+x2
2
y1+y2
2
)满足条件;

2°若x1≠x2且y1=y2

同理可得:只有AB的中点C(

x1+x2
2
y1+y2
2
)满足条件;

3°若x1≠x2且y1≠y2,不妨设x1<x2且y1<y2

由(Ⅰ)得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2

由(Ⅱ)得x+y=

x1+x2
2
+
y1+y2
2

此时,所有符合条件的点C的轨迹是一条线段,即:过AB的中点(

x1+x2
2
y1+y2
2
),

斜率为-1的直线x+y=

x1+x2
2
+
y1+y2
2
夹在矩形AA1BB1之间的部分,

其中A(x1,y1),A1(x2,y1),B(x2,y2),B1(x1,y2).

单项选择题
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