问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)当a=-
(2)求f(x)的单调区间. |
答案
(1)∵f(x)=
ax2+lnx.1 2
当a=-
时,f(x)=-1 4
x2+lnx1 8
∴f′(x)=-
+x 4
=1 x
=4-x2 4x -(x+2)(x-2) 4x
令f′(x)=0可得x1=2,x2=-2
当x∈[1,2],f′(x)>0,当x∈[2,e]时,f′(x)<0
∴函数在区间[1,e]上,有x1=2时,f(x)max=-
+ln2,f(x)min=min{f(1),f(e)}1 2
而f(1)=-
,f(e)=-1 8
e2+1>f(1)=-1 8 1 8
∴f(x)min=-1 8
(2)∵f(x)=
ax2+lnx1 2
∴f′(x)=ax+
=1 x ax2+1 x
①当a≥0时,由f′(x)>0可得,x>0,由f′(x)<0可得x<0
又x>0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增
②当a<0时,f′(x)=
=ax2+1 x a(x-
)(x+- 1 a
)- 1 a x
由f′(x)>0可得,x∈(-∞,-
)∪(0,- 1 a
)- 1 a
由f′(x)<0可得,x∈(-
,0)∪ (- 1 a
,+∞),又x>0- 1 a
∴f(x)的单调递增区间(0,
),减区间(- 1 a
,+∞)- 1 a