问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
ax2+lnx

(1)当a=-
1
4
时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;
(2)求f(x)的单调区间.
答案

(1)∵f(x)=

1
2
ax2+lnx.

当a=-

1
4
时,f(x)=-
1
8
x2+lnx

f(x)=-

x
4
+
1
x
=
4-x2
4x
=
-(x+2)(x-2)
4x

令f′(x)=0可得x1=2,x2=-2

当x∈[1,2],f′(x)>0,当x∈[2,e]时,f′(x)<0

∴函数在区间[1,e]上,有x1=2时,f(x)max=-

1
2
+ln2,f(x)min=min{f(1),f(e)}

而f(1)=-

1
8
,f(e)=-
1
8
e2+1>f(1)=-
1
8

∴f(x)min=-

1
8

(2)∵f(x)=

1
2
ax2+lnx

f(x)=ax+

1
x
=
ax2+1
x

①当a≥0时,由f′(x)>0可得,x>0,由f′(x)<0可得x<0

又x>0

∴f(x)在(0,+∞)单调递增

②当a<0时,f(x)=

ax2+1
x
=
a(x-
-
1
a
)(x+
-
1
a
)
x

由f′(x)>0可得,x∈(-∞,-

-
1
a
)∪(0,
-
1
a
)

由f′(x)<0可得,x∈(-

-
1
a
,0)∪ (
-
1
a
,+∞),又x>0

∴f(x)的单调递增区间(0,

-
1
a
),减区间(
-
1
a
,+∞

单项选择题
名词解释