当a=0时，真数

1+2x

3

恒大于0，成立；

当a≠0时，

x＜1，0＜2^x≤2¹=2

设b=2^x，

则4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，

即ab²+b+1＞0，

a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0，

当0＜b≤2时成立，

当-

1

2a

≤0，a＞0时，

则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向上，-

1

2a

≤0＜b≤2，

∴二次函数是增函数，

∴f（b）=a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞f（0）=1＞0，成立．

当0＜-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

时，

则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，

且b=2时有最小值

∴f（2）=4a+3＞0，a＞-

3

4

，

∴-

3

4

＜a≤-

1

2

．

当1＜-

1

2a

≤2，-

1

2

＜a≤-

1

4

时，

则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，

且b=0时有最小值，但b不取0

∴f（0）=1＞0，成立．

-

1

2

＜a≤-

1

4

．

当-

1

2a

＞2，-

1

4

＜a＜0时，

则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，

0＜b≤2＜-

1

2a

，

∴f（b）是增函数

∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立

∴-

1

4

＜a＜0．

综上所述：a＞-

3

4

．