m²+1-（3m-1）=m²-3m+2=（m-1）（m-2），

所以：①m＞2时，m²+1-（3m-1）=m²-3m+2=（m-1）（m-2）＞0，m²+1＞（3m-1），

因为y=log_mx为增函数，所以log_m（3m-1）≥log_m（m²+1）不成立．

②m=2时，m²+1=（3m-1），所以log_m（3m-1）≥log_m（m²+1）成立；

③1＜m＜2时，m²+1＜（3m-1），因为y=log_mx为增函数，所以log_m（3m-1）≥log_m（m²+1）成立；

④

1

3

＜m＜1时，m²+1＞（3m-1），因为y=log_mx为减函数，所以log_m（3m-1）≥log_m（m²+1）成立；

综上所述：m的取值范围为：

1

3

＜m＜1或1＜m≤2