（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，

又∵α为锐角，所以2α=

π

4

，

∴sin(2α+

π

4

)=1，

则f（x）=x²+x；

（2）∵a_n+1=f（a_n）=a_n²+a_n，

∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，

∴a_n+1＞a_n；

（3）∵

1

an+1

=

1

a 2n +an

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，且a₁=

1

2

，

∴

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，

则

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

，

∵a2=(

1

2

)2+

1

2

=

3

4

，a3=(

3

4

)2+

3

4

＞1，

又n≥2时，∴a_n+1＞a_n，

∴a_n+1≥a₃＞1，

∴1＜2-

1

an+1

＜2，

∴1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2．