已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解

问题解答题

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设各项均不为0的数列{b_n}中，所有满足b_i•b_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{b_n}的变号数，令bn=1-

（n∈N^*），求数列{b_n}的变号数．

答案

（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素

∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4

当a=0时函数f（x）=x²在（0，+∞）递增，不满足条件②

当a=4时函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②

综上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²

当n=1时，a₁=S₁=1

当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5

∴an=

1，(n=1)

2n-5．(n≥2)

由题设可得bn=

-3，(n=1)

2n-5

．(n≥2)

∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，

∴i=1，i=2都满足b_i•b_i+1＜0

∵当n≥3时，bn+1-bn=

2n-5

2n-3

(2n-5)(2n-3)

＞0

即当n≥3时，数列{b_n}递增，

∵b4=-

＜0，由1-

2n-5

＞0⇒n≥5，

可知i=4满足b_i•b_i+1＜0

∴数列{b_n}的变号数为3．