问题 解答题
已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)
g(n)=2(
n+1
-1)(n∈N*)

(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.
答案

(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=2(

2
-1),f(1)>g(1),

当n=2时,f(2)=1+

1
2
g(2)=2(
3
-1)
,f(2)>g(2),

当n=3时,f(3)=1+

1
2
+
1
3
,g(3)=2,f(3)>g(3).

(2)猜想:f(n)>g(n)(n∈N*),即1+

1
2
+
1
3
++
1
n
>2(
n+1
-1) (n∈N*).

下面用数学归纳法证明:①当n=1时,上面已证.

②假设当n=k时,猜想成立,即1+

1
2
+
1
3
++
1
k
>2(
k+1
-1)

则当n=k+1时,f(k+1)=1+

1
2
+
1
3
++
1
k
+
1
k+1
>2(
k+1
-1)+
1
k+1
=2
k+1
+
1
k+1
-2

g(k+1)=2(

k+2
-1)=2
k+2
-2,下面转化为证明:2
k+1
+
1
k+1
>2
k+2

只要证:2(k+1)+1=2k+3>2

(k+2)(k+1)
,需证:(2k+3)2>4(k+2)(k+1),

即证:4k2+12k+9>4k2+12k+8,此式显然成立.所以,当n=k+1时猜想也成立.

综上可知:对n∈N*,猜想都成立,

1+

1
2
+
1
3
++
1
n
>2(
n+1
-1) (n∈N*)成立.

判断题
判断题