已知f(n)=1+
(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论); (2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论. |
(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=2(
-1),f(1)>g(1),2
当n=2时,f(2)=1+
,g(2)=2(1 2
-1),f(2)>g(2),3
当n=3时,f(3)=1+
+1 2
,g(3)=2,f(3)>g(3).1 3
(2)猜想:f(n)>g(n)(n∈N*),即1+
+1 2
++1 3
>2(1 n
-1) (n∈N*).n+1
下面用数学归纳法证明:①当n=1时,上面已证.
②假设当n=k时,猜想成立,即1+
+1 2
++1 3
>2(1 k
-1)k+1
则当n=k+1时,f(k+1)=1+
+1 2
++1 3
+1 k
>2(1 k+1
-1)+k+1
=21 k+1
+k+1
-2;1 k+1
而g(k+1)=2(
-1)=2k+2
-2,下面转化为证明:2k+2
+k+1
>21 k+1 k+2
只要证:2(k+1)+1=2k+3>2
,需证:(2k+3)2>4(k+2)(k+1),(k+2)(k+1)
即证:4k2+12k+9>4k2+12k+8,此式显然成立.所以,当n=k+1时猜想也成立.
综上可知:对n∈N*,猜想都成立,
即1+
+1 2
++1 3
>2(1 n
-1) (n∈N*)成立.n+1