（1）当n=1时，f（1）=1，g(1)=2(

2

-1)，f（1）＞g（1），

当n=2时，f(2)=1+

1

2

，g(2)=2(

3

-1)，f（2）＞g（2），

当n=3时，f(3)=1+

1

2

+

1

3

，g（3）=2，f（3）＞g（3）．

（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N^*），即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)．

下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．

②假设当n=k时，猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

++

1

k

＞2(

k+1

-1)

则当n=k+1时，f(k+1)=1+

1

2

+

1

3

++

1

k

+

1

k+1

＞2(

k+1

-1)+

1

k+1

=2

k+1

+

1

k+1

-2；

而g(k+1)=2(

k+2

-1)=2

k+2

-2，下面转化为证明：2

k+1

+

1

k+1

＞2

k+2

只要证：2(k+1)+1=2k+3＞2

(k+2)(k+1)

，需证：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），

即证：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．

综上可知：对n∈N^*，猜想都成立，

即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)成立．