问题
解答题
已知f(n)=1+
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）； （2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论． |
答案
（1）当n=1时，f（1）=1，g(1)=2(
-1)，f（1）＞g（1），2
当n=2时，f(2)=1+
，g(2)=2(1 2
-1)，f（2）＞g（2），3
当n=3时，f(3)=1+
+1 2
，g（3）=2，f（3）＞g（3）．1 3
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即1+
+1 2
++1 3
＞2(1 n
-1) (n∈N*)．n+1
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即1+
+1 2
++1 3
＞2(1 k
-1)k+1
则当n=k+1时，f(k+1)=1+
+1 2
++1 3
+1 k
＞2(1 k+1
-1)+k+1
=21 k+1
+k+1
-2；1 k+1
而g(k+1)=2(
-1)=2k+2
-2，下面转化为证明：2k+2
+k+1
＞21 k+1 k+2
只要证：2(k+1)+1=2k+3＞2
，需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），(k+2)(k+1)
即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想都成立，
即1+
+1 2
++1 3
＞2(1 n
-1) (n∈N*)成立．n+1
