由题意知

  利用分析法证明如下：

  证明：①要证不等式x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

成立，

          只需证(

2 x y

x+y

)2≤ (

x y

)2成立即可

         化简得：（x+y）²≥4xy

             即：（x-y）²≥0恒成立

          又∵x≠y

∴

2 x y

x+y

＜

x y

成立

       ②要证不等式x、y∈R⁺，

x y

≤

x+y

2

成立，两边平方  

         得：（x+y）²≥4xy

          即不等式（x-y）²≥0恒成立       

          又∵x≠y

∴

xy

＜

x+y

2

成立

    综上所述：由①②知不等式

2 x y

x+y

＜

x y

＜

x+y

2

成立．

   故选B