问题
解答题
已知函数f（x）=log2（x+m），m∈R
（ I）若f（1），f（2），f（4）成等差数列，求m的值；
（ II）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．
答案
（1）因为f（1），f（2），f（4）成等差数列，所以2f（2）=f（1）+f（4），
即：2log2（2+m）=log2（1+m）+log2（4+m），即log2（2+m）2=log2（1+m）（4+m），得
（2+m）2=（1+m）（4+m），得m=0．
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，
设a=b-d，c=b+d，（d不为0）；
f（a）+f（c）-2f（b）=log2（a+m）+log2（c+m）-2log2（b+m）=log2(a+m)(c+m) (b+m)2
因为（a+m）（c+m）-（b+m）2=ac+（a+c）m+m2-（b+m）2=b2-d2+2bm+m2-（b+m）2=-d2＜0
所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）2，
得0＜
＜1，得log2(a+m)(c+m) (b+m)2
＜0，(a+m)(c+m) (b+m)2
所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．