（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，

即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，

∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]上都是增函数，

∴-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]在（-∞，1]上也是增函数，

从而它在x=1时取得最大值-(

1

n

+

2

n

+…

n-1

n

)=-

1 2 n(n-1)

n

=-

1

2

(n-1)．

所以a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，

∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]等价于a＞-

1

2

(n-1)，

故a的取值范围是{a|a＞-

1

2

(n-1)}．

（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²

＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0．

∵（a₁+a₂+…+a_n²）²=（a₁²+a₂²+…a_n²）+2（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）

≤（a₁²+a₂²+…a_n²）+[（a₁²+a₂²）+…+（a₁²+a_n²）]+[（a₂²+a₃²）

+…+（a₂²+a_n²）]+…+[（a_n-2²+a_n-1²）+（a_n-2²+a_n²）]+（a_n-1²+a_n²）

=n（a₁²+a₂²+…+a_n²）．

于是（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）当a₁=a₂=…=a_n时成立．

利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2^x，

所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，

当0＜a＜1，x≠0时，因a²＜a，

所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，

即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．