问题
解答题
一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回),2个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率.
(2)若n=5,求3次摸奖的中奖次数ξ=1的概率及数学期望.
(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P,当n取多少时,P最大?
答案
(1) P=
(2)
(3) n=20
(1)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A,card(A)=
.
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B,card(B)=5n,
所以,所求概率P=.
(2)3次放回式摸奖中“每次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复事件,
当n=5时,获奖次数ξ～B(3,
),
P(ξ=1)=.
E(ξ)=np=
=.
(3)ξ～B(n,p),
P(ξ=1)=
p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,
令f(p)=3p3-6p2+3p,由f'(p)=9p2-12p+3=0,
得p=
;
当p=时f(p)有最大值.
由p==,解得n=20.
所以当n=20时,3次摸奖恰有1次中奖的概率最大.