问题
解答题
已知a1,a2,…,an均为正数,且a1•a2…an=1,求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.
答案
证明:∵a1>0,1>0;2+a1=1+1+a1≥3•
=3•3 1•1•a1
>0;…(2分)3 a1
同理:2+a2=1+1+a2≥3•
=3•3 1•1•a2
>0;…2+an=1+1+an≥3•3 a2
=3•3 1•1•an
>03 an
由不等式性质:上面n大于0的同向不等式相乘,即得:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•
…(4分)3 a1•a2…an
∵已知:a1•a2…an=1,代入上式得:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n…(6分)