（1）a²+b²≥2ab⇒2（a²+b²）≥a²+2ab+b²

⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2…（3分）

由于a＞0，b＞0⇒a+b＞0，故

a2+b2 2

≥

a+b

2

…（4分）

（2）由于a+

1

a

-(b+

1

b

)=(a-b)+(

1

a

-

1

b

)

=(a-b)+

b-a

ab

=(a-b)(1-

1

ab

)=(a-b)•

ab-1

ab

，…（8分）

因为a＞1，b＞1⇒ab＞1⇒ab-1＞0且ab＞0，又a＞b⇒a-b＞0，

所以(a-b)•

ab-1

ab

＞0．

故a+

1

a

＞b+

1

b

…（10分）