（1）令t=4^x+1，

∵4^x＞0，

∴t＞1，

∴y=log₄t＞0，

所以函数f（x）的值域为（0，+∞）．…（2分）

（2）∵F（x）=f（x）-4的定义域为R，

∴对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]

=log4

1+4x1

1+4x2

，

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

∴4x1＜4x2，

∴0＜4x1+1＜4x2+1，从而

4x1+1

4x2+1

＜1，

∴log4

1+4x1

1+4x2

＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，

即F（x₁）＜F（x₂），

所以函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数．…（4分）

（3）因为函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，

即方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一个实数根，

∴4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一个实数根，

∴（2^x）²+1=（a•2^x-

3

4

a），即（2^x）²-a•2^x+

3

4

a+1=0．

令t=2^x＞0，则关于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（*）有且只有一个正根．                            …（6分）

则方程（*）的两根异号或有两个相等的正根．

∴

△=0 a 2 ＞0

或

3

4

a+1＜0，

∴a=4或a＜-

4

3

；

综上所述，实数a的取值范围是{a|a=4或a＜-

4

3

}．…（8分）