问题
解答题
设函数f（x）=lnx，g(x)=px-
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围； （II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）； （III）求证：1+
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答案
（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
g(x)=px-
-2lnxg′(x)=p+p x
-p x2
=2 x
（1分）px2+p-2x x2
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若g′(x)≥0⇒px2+p-2x≥0⇒p≥
=2x x2+1 2 x+ 1 x
∵x+
≥2∴1 x
≤12 x+ 1 x
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
h′(x)=
-1=1 1+x
（5分）-x 1+x
令h'（x）=0⇒x=0
| x | （-1，0） | （6分） （0，+∞） |
| h'（x） | + | - |
∴x＞-1时，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令x=
，则1 n
＞ln(1+1 n
)=ln(n+1)-lnn（10分）1 n
1+
+1 2
+…+1 3
＞ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln（n+1）（13分）1 n
