问题
解答题
若曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
（1）求xn与xn+1的关系式； （2）若f(x)=
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1（n∈N*）． |
答案
（1）kn=
=yn+1-yn xn+1-xn
=-
-1 xn+1 1 xn xn+1-xn 1 xn+1xn
∴xn+1xn=xn+2（4分）
（2）an=
，则 an+1=1 xn-2
=1 xn+1-2
=1
-2xn+2 xn
=-1-2anxn 2-xn
∴an+1+
=-2 (an+1 3
)（8分）1 3
又a1+
=-2 ≠0∴{an+1 3
}为等比数列1 3
∴an+
=(-2)n1 3
∴an=(-2)n-
（10分）1 3
（3）xn=2+
，∴(-1)nxn=2•(-1)n+1 (-2)n- 1 3 1 2n-
•(-1)n1 3
当n为奇数时，（-1）nxn+（-1）n+1xn+1
=
+1 2n+ 1 3 1 2n+1- 1 3
=
＜2n+2n+1 (2n+
)(2n+1-1 3
)1 3
=2n+2n+1 2n•2n+1
+1 2n
（12分）1 2n+1
当n为偶数时，（-1）x1+（-1）2x2++（-1）nxn
＜
+1 2
++1 22
+1 2n-1
＜1 2n
=1（13分）1 2 1- 1 2
当n为奇数时，（-1）x1+（-1）2x2++（-1）nxn
＜
+1 2
++1 22
+1 2n-2
-2+1 2n-1 1 2n+ 1 3
=
-1＜11 2n+ 1 3
综上，（-1）x1+（-1）2x2++（-1）nxn＜1．（14分）
，可退至切
类型是（）