（1）因为函数的定义域关于原点对称，由f(-x)=lg

3+x

3-x

=lg(

3-x

3+x

)-1=-lg(

3-x

3+x

)=-f(x)．

所以f（x）是奇函数．

（2）任取-3＜x₁＜x₂＜3，

则f(x1)-f(x2)=lg

3-x1

3+x1

-lg

3-x2

3+x2

=lg

(3-x1)(3+x2)

(3+x1)(3-x2)

=lg

9+3(x2-x1)-x1x2

9+3(x1-x2)-x1x2

因为9+3（x₂+x₁）-x₁x₂＞9-3（x₂+x₁）-x₁x₂＞0，

所以

9+3(x2+x1)-x1x2

9-3(x2+x1)-x1x2

＞1，

即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）是（-3，3）上的减函数；

（3）因为f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0且f（x）是（-3，3）上的减函数，

所以f（cos²θ-k²）≥-f（k-cosθ）=f（cosθ-k），

即

k＜0 -3＜k-cosθ＜3 -3＜cos2θ-k2＜3 k-cos⁡θ≤k2-cos2θ

恒成立．

由k-cosθ≤k²-cos²θ得，k-k²≤cosθ-cos²θ恒成立．

设y=cos⁡θ-cos²θ=-(cosθ-

1

2

)2+

1

4

．

因为-1≤cosθ≤1，所以-2≤y≤

1

4

，

所以k-k²≤-2，解得k≤-1．

同理：由-3＜k-cosθ＜3，

得：-2＜k＜2．

由-3＜cos²θ-k²＜3，得：-

3

＜k＜

3

，

即综上所得：-

3

＜k≤-1．

所以存在这样的k其范围为：-

3

＜k≤-1．