问题
解答题
定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上,其中n为正整数.
(1)判断数列{an+2}是否为“平方递推数列”?说明理由.
(2)证明数列{lg(an+2)}为等比数列,并求数列{an}的通项.
(3)设Tn=(2+a1)(2+a2)…(2+an),求Tn关于n的表达式.
答案
(1)由条件得:an+1=an2+4an+2,
∴an+1+2=an2+4an+4=(an+2)2,∴{an+2}是“平方递推数列”.
(2)由(1)得lg(an+1+2)=2lg(an+2)∴
=2,lg(an+1+2) lg(an+2)
∴{lg(an+2)}为等比数列.
∵lg(a1+2)=lg4,∴lg(an+2)=lg4•2n-1,∴an+2=42n-1
∴an=42n-1-2.
(3)∵lgTn=lg(a1+2)+lg(a2+2)+…+lg(an+2)=
=(2n-1)lg4,lg4•(1-2n) 1-2
∴Tn=42n-1.