问题 解答题

定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上,其中n为正整数.

(1)判断数列{an+2}是否为“平方递推数列”?说明理由.

(2)证明数列{lg(an+2)}为等比数列,并求数列{an}的通项.

(3)设Tn=(2+a1)(2+a2)…(2+an),求Tn关于n的表达式.

答案

(1)由条件得:an+1=an2+4an+2,

∴an+1+2=an2+4an+4=(an+2)2,∴{an+2}是“平方递推数列”.

(2)由(1)得lg(an+1+2)=2lg(an+2)∴

lg(an+1+2)
lg(an+2)
=2,

∴{lg(an+2)}为等比数列.                                         

∵lg(a1+2)=lg4,∴lg(an+2)=lg4•2n-1,∴an+2=42n-1

an=42n-1-2.                                     

(3)∵lgTn=lg(a1+2)+lg(a2+2)+…+lg(an+2)=

lg4•(1-2n)
1-2
=(2n-1)lg4,

Tn=42n-1

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