问题
解答题
已知直线l：y=kx+m与椭圆
（1）求f（k）个关于实数k的表达式； （2）若不等式|x-p|+|x-1|≥f（k）对k∈R，x∈R恒成立，求实数p的取值范围． |
答案
（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由已知
=|m| 1+k2
，3 2
得m2=
(k2+1)，3 4
把y=kx+m代入椭圆方程，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=
，-6km 3k2+1
x1x2=
．3(m2-1) 3k2+1
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[
-36k2m2 (3k2+1)2
]12(m2-1) (3k2+1)
=
=12(k2+1)(3k2+1-m2) (3k2+1)2
=3+3(k2+1)(9k2+1) (3k2+1)2 12k2 9k4+6k2+1
∴|AB|=f(k)=
=3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2
．3+ 12k2 9k4+6k2+1
（2）∵|AB|=f(k)=
=3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2 3+ 12k2 9k4+6k2+1
=3+(
)22
k3 3k2+1
≥
，（当且仅当k=0时，取最小值）3
∴|x-p|+|x-1|≥
，3
由绝对值的几何意义，知|p-1|≥
，3
∴p≥
+1或p≤1-3
．3