问题
解答题
| 函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．当x∈[0，1]时，f（x）=loga（2-x）（a＞1）． （1）当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，求f（x）的表达式； （2）若f（x）的最大值为
|
答案
（1）当x∈[-1，0）时，f（x）=f（-x）=loga[2-（-x）]=loga（2+x）．
当x∈[2k-1，2k）（k∈Z）时，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=loga[2+（x-2k）]．
当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=loga[2-（x-2k）]．
故当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为f(x)=loga[2+(x-2k)]，x∈[2k-1，2k) loga[2-(x-2k)]，x∈[2k，2k+1]
（2）∵f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴f（x）的最大值就是当x∈[0，1]时，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=loga（2-x）在[0，1]上是减函数，∴[f(x)]max=f(0)=loga2=
，∴a=4．1 2
当x∈[-1，1]时，由f(x)＞
得1 4
或-1≤x＜0 log4(2+x)＞ 1 4 0≤x≤1 log4(2-x)＞ 1 4
得
-2＜x＜2-2
．2
∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f(x)＞
的解集为{x|2k+1 4
-2＜x＜2k+2-2
，k∈Z}．2