问题
解答题
已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）．求证：
（1）m+n＞0；
（2）f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）．
答案
（1）证明：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），
log2（m+1）=log2（n+1），①
或log2（m+1）=log2
．②1 n+1
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去．
由②得m+1=
，即（m+1）（n+1）=1．③1 n+1
∴m+1＜1＜n+1．∴m＜0＜n．∴mn＜0．
由③得mn+m+n=0，m+n=-mn＞0．
（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数．
由（1）知m2-（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0．
∴m2-（m+n）＜0，0＜m2＜m+n．
∴f（m2）＜f（m+n）．
同理，（m+n）-n2=-mn-n2=-n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n2．∴f（m+n）＜f（n2）．
∴f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）．