问题
解答题
如果正实数a，b满足ab=ba．且a＜1，证明a=b．
答案
证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
=lna a lnb b
考虑函数y=
(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=lnx x
.1-lnx x2
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1．由ba＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即
≠lna a
，lnb b
从而ab≠ba这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：因为0＜a＜1，ab=ba，
所以blogaa=alogab，即
=logabb a
假如a＜b，则
＞1，但因a＜1，b a
根据对数函数的性质，
得logab＜logaa=1，从而
＞logab，这与b a
=logab矛盾b a
所以a不能小于b
假如a＞b，则
＜1，而logab＞1，这也与b a
=logab矛盾b a
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得aε＜1和(1+
)a＞1，ε a
所以aε＜(1+
)a，aaaε＜aa(1+ε a
)a，aa+ε＜(a+ε)a，ε a
即ab＜ba．这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得ab＜ba．
这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b
因此a=b