已知函数，f（X）=log2x的反函数为f-1（x），等比数列{an}的公比为2

问题选择题

已知函数，f（X）=log₂x的反函数为f^-1（x），等比数列{a_n}的公比为2，若f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰，则2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=（　　）

A．2^1004×2008

B．2^1005×2009

C．2^1005×2008

D．2^1004×2009

答案

由f（X）=log₂x得f^-1（x）=2^x，所以f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2a22a4=2a2+a4=2¹⁰，所以a₂+a₄=10，

又公比q=2，所以a₁=1，

故a_n=2^n-1，

所以^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=log₂1+log₂2¹+log₂2²+log₂2³+^…+log₂2²⁰⁰⁸=1+2+3+^…+2008=

(1+2008)×2008

=1004×2009；

所以2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）=2^1004×2009}

故选D．