问题 解答题

已知不等式|1-kxy|>|kx-y|.

(1)当k=1,y=2时,解关于x的不等式|1-kxy|>|kx-y|;

(2)若不等式|1-kxy|>|kx-y|对任意满足|x|<1,|y|<1的实数x,y恒成立,求实数k的取值范围.

答案

(1)当k=1,y=2时,不等式|1-kxy|>|kx-y|,即为|1-2x|>|x-2|.

所以,1-4x+4x2>x2-4x+4  等价于 x2>1,所以,x∈(-∞,-1)∩(1,+∞).

(2)由已知得|1-kxy|>|kx-y|等价于|1-kxy|2>|kx-y|2 等价于  1+k2x2y2>k2x2+y2

即(k2x2-1)(y2-1)>0对任意满足|x|<1,|y|<1的实数x,y 恒成立.

而y2<1,所以y2-1<0,故(k2x2-1)(y2-1)>0,等价于 k2x2-1<0.

于是命题转化为k2x2-1<0对任意满足|x|<1的实数x恒成立.

当x=0时,易得k∈R;

当x≠0时,有k2

1
x2
对任意满足|x|<1,x≠0的实数x恒成立.

由0<|x|<1 等价于 0<x2<1,∴

1
x2
∈(1,+∞),所以,k2≤1.

综合以上得k∈[-1,1]即为所求的取值范围.

问答题
单项选择题