（I）由题意，m=4时，F（x）=f（x）+g（x）=log_ax+log_a（2x+2）=loga(2x2+2x)，

又x∈[1，2]，则2x²+2x∈[4，12]．

而函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，

∴a＞1，解得a=2；

（Ⅱ）由题意，0＜a＜1时，∵f（x）≥2g（x），

∴

1≤x≤2 2x+m-2＞0 logax≥loga(2x+m-2)2

⇒

1≤x≤2 m＞2-2x x≤(2x+m-2)2

，

⇒

1≤x≤2 m＞0 4x2+(4m-9)x+(m-2)2≥0

，

令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²=4[x-（

9

8

-

m

2

）]²+（m-2）²-

(9-4m)2

16

，

（1）当0＜m＜

1

4

时，1＜

9

8

-

m

2

＜

9

8

＜2，

函数h（x）min=（m-2）²-

(9-4m)2

16

≥0，

解得m无解；

（2）当m≥

1

4

时，函数h（x）在x∈[1，2]上的单调递减，

则h（x）_min=h（1）=m²-1≥0⇒m≥1．

综上，实数m的取值范围为[1，+∞）．