问题
解答题
| （1）选修4-2：矩阵与变换 已知向量
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程． （2）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程； （Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值． （3）选修4-5：不等式选讲 设实数a，b满足2a+b=9． （Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围； （Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值． |
答案
（1）（Ⅰ）因为 1 m 0 1
=1 -1
，1-m -1
所以，
=1-m -1
，即m=1．…（3分）0 -1
（Ⅱ）因为M=
，所以M-1=1 1 0 1
．…（4分）1 -1 0 1
设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由
=x′ y′ 1 -1 0 1
=x y
，…（5分）x-y y
所以
得x-y=x′ y=y′
代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'．…（6分）x=x′+y′ y=y′
由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
，2
)得点M的直角坐标为（4，4），π 4
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
（α为参数）x=1+
cosα2 y=
sinα2
化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
．2
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
．…（7分）2
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
)3=(a+a+b 3
)3=33=27，…（6分）2a+b 3
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）