问题
解答题
已知函数f(x2-1)=loga
（1）求f（x）的表达式，写出其定义域，并判断奇偶性； （2）求f-1（x）的表达式，并指出其定义域； （3）判断f-1（x）单调性并证明． |
答案
（1）令t=x2-1（t≥-1）
则x2=t+1
∵f(x2-1)=logax2 2-x2
∴f(t)=log2
=logat+1 2-(t+1) 1+t 1-t
∴f(x)=loga1+x 1-x
要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：-1＜x＜1
故函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(-x)=loga
=-f（x）1-x 1+x
故函数为奇函数
（2）∵f(x)=loga
（-1＜x＜1）1+x 1-x
∴f-1（x）=2x-1 2x+1
由于函数解析式恒有意义
故函数f-1（x）的定义域为R
（3）∵f-1（x）=
=1-2x-1 2x+1 2 2x+1
当x增大时，2x+1随之增大，
随之减小，1-2 2x+1
随之增大2 2x+1
故f-1（x）单调递增
