问题
解答题
已知函数f（x）=log2（2x+1）．
（1）求证：函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围．
答案
（1）证明：任取-7＜x1＜x2＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2
，…（4分）2x1+1 2x2+1
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1
∴0＜
＜1，log22x1+1 2x2+1
＜0 2x1+1 2x2+1
∴f（x1）＜f（x2），…（7分）
所以，函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增．…（8分）
（2）m=log2（2x+1）-x=log2（2x+1）-log22x=log2(1+
)，…（11分）1 2x
当1≤x≤2 时，
≤1 4
≤1 2x
，1 2
≤1+5 4
≤1 2x
…（13分）3 2
∴log2(
)≤log2(1+5 4
)≤log2(1 2x
)，即log2(3 2
)≤m≤log2(5 4
) …（15分）3 2
所以，m 的取值范围是(log2
， log25 4
) …（16分）3 2