（1）f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)=-loga

1+kx

-x-1

=loga

-x-1

1+kx

∴

1-kx

x-1

=

-x-1

1+kx

，x2-1=(kx)2-1

∴（k²-1）x²=0，又k≠1∴k=-1；

∴f(x)=loga

x+1

x-1

由

x+1

x-1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1

∴f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}．

（2）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=loga

x2+1

x2-1

-loga

x1+1

x1-1

=loga(

x2+1

x2-1

•

x1-1

x1+1

)=loga

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1.0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．

当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（3）原不等式即为f（x²+2x+2）＞f（2）． 当a＞1时 得出，1＜x²+2x+2＜2，解得2＜x＜0，且x≠-1．

当0＜a＜1时，得出x²+2x+2＞2，解得 x＜-2，或x＞0．