设函数f（x）=loga（x-3a），g（x）=loga1x-a，（a＞0且a≠

问题解答题

设函数f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a

x-a

，（a＞0且a≠1）．
（1）若a=

，当x∈[

+2，

+3]时，求证：|f（x）-g（x）|＜1；
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

答案

f（x）-g（x）=log_a（x-3a）（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²）

令h（x）=x²-4ax+3a²，则当0＜a＜1时，h（x）的对称轴x=2a＜a+2

故h（x）在[a+2，a+3]上单调递增，

∴h（x）_min=h（a+2）=4-4a，h（x）_max=h（a+3）=9-6a（6分）

（1）若a=

，则

≤h(x)≤

219

，

∴-1＜log

219

≤log

h(x)≤log

＜0，

∴|f（x）-g（x）|＜1（9分）

（2）由题意，x-3a＞0在[a+2，a+3]上恒成立，则a+2-3a＞0⇒a＜1

又a＞0且a≠1∴0＜a＜1（12分）

loga(4-4a)≤1⇒a≤

loga(9-6a)≥-1⇒a≤

或a≥

（16分）

故0＜a≤

（18分）