f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若当x∈（-∞，1]时f（x）有意义转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．

分离参数可得：a＞-[(

1

2

)2x+(

1

2

)x]

设t=(

1

2

)x，则t≥

1

2

设g（t）=t²+t，其对称轴为t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上为增函数，当t=

1

2

时，g（t）有最小值g（

1

2

）=

3

4

∴a的取值范围是a＞-

3

4

故答案为（-

3

4

，+∞）．