问题
填空题
已知函数f(x)=loga(
①函数f（x）为R上的偶函数的充要条件是b=0； ②若a=
③当a＞1时，函数为R上的增函数； ④若函数f（x）为R上的奇函数，且为R上的增函数，则必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1． 其中所有正确判断的序号是______． |
答案
①由函数f（x）为R上的偶函数可得f（-x）=f（x）对若任意的x都成立
∴loga(
-bx)=loga(1+(-x)2
+bx)即1+x2
-bx=1+x2
+bx对任意的x都成立1+x2
∴bx=0对任意的x都成立，则b=0，故①正确
②当a=
，b=-1时，f（x）=log1 2
(1 2
-x)，则f（-x）=log1+x2
(1 2
+x)=log1+x2 1 2 1
-x1-x2
=-f（x），则函数f（x）为奇函数，由于g（x）=
-x=1+x2
在（0，+∞）单调递减，y=log1
+x1+x2
g(x)在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增，故②错误1 2
③当a＞1时，函数y=logat单调递增，而t=
+bx单调性不确定，故③错误1+x2
④若函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，
则loga (
-bx)=-loga(1+x2
+bx)1+x2
∴
-bx=1+x2 1
+bx1+x2
∴（1-b2）x2=0对任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函数f（x）为R上的增函数
当b=-1时，
-x在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，0＜a＜11+x2
当b=1时，
+x在R上单调递增，由复合函数的单调性可知，a＞11+x2
故④正确
故答案为：①④