问题
解答题
设a∈R，f（x）=
（1）求a的值； （2）如果g（n）=
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答案
∵（1）f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，2a-2=0，解得a=1．
经验证a=1，f（x）是奇函数，∴a=1．
（2）由（1）可知：f（x）=
，∴f（n）=2x-1 2x+1
．2n-1 2n+1
∴f（n）-g（n）=
-2n-1 2n+1
=n n+1
．2n-2n-1 (2n+1)(n+1)
只要比较2n与2n+1的大小即可．
当n=1，2时，f（n）＜g（n）；当n≥3时，2n＞2n+1，f（n）＞g（n）．
下面证明，n≥3时，2n＞2n+1，即f（x）＞g（x）．
①n=3时，23＞2×3+1，显然成立，
②假设n=k（k≥3，k∈N+）时，2k＞2k+1，
那么n=k+1时，2k+1=2×2k＞2（2k+1）．
2（2k+1）-[2（k+1）+1]=4k+2-2k-3=2k-1＞0（∵k≥3），
有2k+1＞2（k+1）+1．
∴n=k+1时，不等式也成立，由①②可以断定，n≥3，n∈N+时，2n＞2n+1．
结论：n=1，2时，f（n）＜g（n）；当n≥3，n∈N+时，f（n）＞g（n）．
