令f（n）=log（n+1）（n+2）（n∈N*），如果对k（k∈N*），满足

问题填空题

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）…f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2008]内所有“好数”的和M=______．

答案

∵f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），

∴f（1）•f（2）=log₂3•log₃4=log₂4=2，

f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）

=log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7•log₇8

=log₂8=3，

…

由题设知k=2ⁿ-2，

由2ⁿ-2≤2008，解得1≤n≤10，

∴M=

2(1-210)

1-2

=2006．

故答案为：2026