问题
选择题
| 下列命题： ①设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-
②关于x的不等式（a-3）x2＜（4a-2）x对任意的a∈（0，1）恒成立，则x的取值范围是(-∞，-1]∪[
③变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r2＜0＜r1； ④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
以上命题正确的个数是（ ）
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答案
①中，f′（x）=g′（x）+2x．
∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，
∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4，
故①错误．
②中，不等式（a-3）x2＜（4a-2）x即（x2-4x）a-3x2+2x＜0，
令g（a）=（x2-4x）a-3x2+2x，a∈（0，1）
由题意可得g（a）＜0在a∈（0，1）恒成立，结合一次函数的单调性可得
，即g(0)≤0 g(1)≤0
，解不等式组可得x≤-1或x≥-3x2+2x≤0 -2x2-2x≤0
，2 3
∴x的取值范围是(-∞，-1]∪[
，+∞)，2 3
故②正确；
③中，∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），
=. X
11.72，10+11.3+11.8+12.5+13.5 5
=. Y
=3，1+2+3+4+5 5
∴这组数据的相关系数是r=
=0.3755，7.2 19.172
变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）
=. V
=3，5+4+3+2+1 5
∴这组数据的相关系数是-0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，即r2＜0＜r1，
故③正确；
④中，由对照数据，计算得
xi2=86，4 
i=1
=. x
=4.5，3+4+5+6 4
=. y
=3.5，2.5+3+4+4.5 4
xiyi=66.5，44 i=1 . x
=63，4. •y
2=81，. x
∴求得回归方程的系数为b=0.7，a=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35，
故④错误；
故选C．