问题 解答题
已知函数f(x)=
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x

(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(1+m)+f(m)<0,求实数m的取值范围.
答案

(1)使解析式有意义的条件为

1+3x≠0
1-x
1+x
>0
⇔-1<x<1,

∴函数的定义域为x∈(-1,1)(4分)

(2)函数的定义域关于原点对称,

f(-x)+f(x)=

1-3-x
1+3x
+log3
1+x
1-x
+
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x
,(6分)

=
3x-1
3x+1
+log3
1+x
1-x
+
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x
=0+log31=0
(7分)

即f(-x)+f(x)=0

∴f(-x)=-f(x)

∴f(x)为奇函数                                       (8分)

(3)设-1<x1<x2<1,则y2-y1=

1-3x2
1+3x2
+log3
1-x2
1+x2
-
1-3x1
1+3x1
-log3
1-x1
1+x1
(9分)

=
1-3x2
1+3x2
-
1-3x1
1+3x1
+log3
1-x2
1+x2
-log3
1-x1
1+x1
=
(1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1)
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1-x2
1+x2
1+x1
1-x1
=
1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1+x1
1+x2
1-x2
1-x1

=
2(3x1-3x2)
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1+x1
1+x2
1-x2
1-x1
∵-1<x1x2<1
3x1-3x2<0,
1+x1
1+x2
<1,
1-x2
1-x1
<1,
log3
1+x1
1+x2
1-x2
1-x1
<0
y2-y1<0

所以f(x)在(-1,1)上为减函数,(12分)

又∵f(1+m)+f(m)<0

∴f(1+m)<-f(m)f(1+m)<f(-m)

1+m>-m
-1<1+m<1
-1<-m<1
⇒-
1
2
<m<0.(14分)

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