已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)若f(1+m)+f(m)<0,求实数m的取值范围. |
(1)使解析式有意义的条件为
⇔-1<x<1,1+3x≠0
>01-x 1+x
∴函数的定义域为x∈(-1,1)(4分)
(2)函数的定义域关于原点对称,
且f(-x)+f(x)=
+log31-3-x 1+3x
+1+x 1-x
+log31-3x 1+3x
,(6分)1-x 1+x
(7分)=
+log33x-1 3x+1
+1+x 1-x
+log31-3x 1+3x 1-x 1+x =0+log31=0
即f(-x)+f(x)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数 (8分)
(3)设-1<x1<x2<1,则y2-y1=
+log31-3x2 1+3x2
-1-x2 1+x2
-log31-3x1 1+3x1
(9分)1-x1 1+x1
=
-1-3x2 1+3x2
+log31-3x1 1+3x1
-log31-x2 1+x2 1-x1 1+x1 =
+log3(1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1) (1+3x2)(1+3x1)
•1-x2 1+x2 1+x1 1-x1 =
+log31-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2 (1+3x2)(1+3x1)
•1+x1 1+x2 1-x2 1-x1
=
+log32(3x1-3x2) (1+3x2)(1+3x1)
•1+x1 1+x2 1-x2 1-x1 ∵-1<x1<x2<1 ∴3x1-3x2<0,
<1,1+x1 1+x2
<1,1-x2 1-x1 log3
•1+x1 1+x2
<01-x2 1-x1 ∴y2-y1<0
所以f(x)在(-1,1)上为减函数,(12分)
又∵f(1+m)+f(m)<0
∴f(1+m)<-f(m)f(1+m)<f(-m)
⇒
⇒-1+m>-m -1<1+m<1 -1<-m<1
<m<0.(14分)1 2