问题
解答题
已知函数f(x)=loga(
1）求实数m的值； 2）求f（x）的反函数f-1（x）； 3）若两个函数F（x）与G（x）在[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在[p，q]上是分离的．试判断函数f（x）的反函数f-1（x）与g（x）=ax在[1，2]上是否分离？若分离，求出a的取值范围；若不分离，请说明理由． |
答案
1）f（x）为奇函数⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=
+xx2+1
∴（ay-x）2=x2+1
即x=
（ay-1 2
）1 ay
∴f-1(x)=
(ax-1 2
)，x∈R1 ax
3）f-1(x)=
(ax-1 2
)1 ax
记h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=
(ax+1 2
)1 ax
假设f-1（x）与g（x）在[1，2]是分离的，，则h（ax）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即 h（ax）min＞2．
①当a＞1时，x∈[1，2]，ax∈[a，a2]，h（ax）在ax∈[a，a2]上单调递增，h(ax)min=h(a)=
(a+1 2
)＞2⇒a＞2+1 a
；3
②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，ax∈[a2，a]，h（ax）在ax∈[a2，a]上单调递减，h(ax)min=h(a)=
(a+1 2
)＞2⇒0＜a＜2-1 a
；3
故a的取值范围是：(0，2-
)∪(2+3
，+∞)．3