问题 解答题

在函数y=lgx(x>1)的图象有A、B、C三点,横坐标分别为:m,m+2,m+4,

(1)若△ABC的面积为S,求S=f(m)的解析式;

(2)求S=f(m)的最大值;

(3)若a、b、c和lga、lgb、lgc分别是两个三角形的三条边,且a、b、c互不相等,那么这两个三角形能否相似?说明理由.

答案

(1)过分别过A,B,C作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,CC1⊥x轴分别交x轴于A1,B1,C1

则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1D-S梯形AA1C1D

=

1
2
[lgm+lg(m+2)]×2+
1
2
[lg(m+2)+lg(m+4)]×2-
1
2
[lgm+lg(m+4)]×4=2lg(m+2)-lg(m+4)-lgm(m≥1)

∴S△ABC=lg

(m+2)2
m(m+4)
=lg(1+
4
m2+4m
),(m≥1)

(2)S△ABC=lg(1+

4
(m+2)2-4
)这个函数可以看做复合函数

因为S=lgx是增函数,所以要是S最大,只要函数x=1+

4
(m+2)2-4
最大即可

在[1,+∞)⇒Smgx=f(1)=lg

9
5
=2lg3-lg5;

(3)不相似.依题意,设a<b<c,则有lga<lgb<lgc,若相似,则有

a
lga
=
b
lgb
=
c
lgc
=k,k为常数

⇒a、b、c为方程x=klgx的三个根.

而曲线y=x与y=klgx至多有两个交点,所以产生矛盾,因而这两个三角形不相似.

单项选择题
单项选择题