已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义

问题选择题

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_k为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为（　　）

A．2048

B．4096

C．2026

D．4083

答案

a_n=log_n+1（n+2），

∴由a₁•a₂…a_k为整数得1•log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，

设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，

∴k=2^m-2；因为2¹¹=2048＞2010，

∴区间[1，2010]内所有和谐数为：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，

其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．

故选C．