设函数f（x）=log2（2x+1），x∈R．（1）求f（x）的反函数f-1（

问题解答题

设函数f（x）=log₂（2^x+1），x∈R．

（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；

（2）解不等式2f（x）≤f^-1（x+log₂5）．

答案

（1）y=log₂（2^x+1），则2^x=2^y-1，y＞0

∴x=log₂（2^y-1）

∴f^-1（x）=log₂（2^x-1），x∈（0，+∞）．

（2）由2f（x）≤f^-1（x+log₂5），得x+log₂5＞0，

且2log₂（2^x+1）≤log2(2x+log25-1)，

∴（2^x）²-3×2²+2≤0，∴1≤2^x≤2，⇒0≤x≤1

综上，得0≤x≤1．