问题 解答题

已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.

求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

答案

见解析

证明:|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|

=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|

=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|

≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),

所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

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