问题
解答题
知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
答案
(0,18]
因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy
≥2
+xy=2
+xy,
所以(
)2+2-30≤0,
所以(-3
)(+5)≤0,
所以0<≤3,即0<xy≤18,
当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围为(0,18].
【一题多解】本题还可用消元的方法:
因为x+2y+xy=30,所以y=
,
所以xy=x·=
=
=-x+32-
=-(x+2)-+34,
又因为x>0,
所以(x+2)+≥2
=16,
当且仅当x+2=,即x=6时,等号成立,
所以xy≤-16+34=18,
当且仅当x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围是(0,18].