见解析

证明：方法一:因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以

(a+b)³-2³=a³+b³+3a²b+3ab²-8=3a²b+3ab²-6

=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a³+b³)]=

-3(a+b)(a-b)²≤0.

即(a+b)³≤2³,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2≤a+b≤2,所以ab≤1.

方法二:设a,b为方程x²-mx+n=0的两根,则因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,

且Δ=m²-4n≥0.　①

因为2=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)[(a+b)²-3ab]=m(m²-3n),

所以n=-.　②

将②代入①得m²-4≥0,

即≥0,所以-m³+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,

由2≥m得4≥m²,又m²≥4n,所以4≥4n,

即n≤1,所以ab≤1.

方法三:因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以2=a³+b³=

(a+b)(a²+b²-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),

于是有6≥3ab(a+b),从而8≥3ab(a+b)+2=3a²b+3ab²+a³+b³=(a+b)³,所以a+b≤2(以下略).

方法四:因为-

=

=≥0,

所以对任意非负实数a,b,有≥.

因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以1=≥,

所以≤1,即a+b≤2(以下略).

方法五:假设a+b>2,则a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

=(a+b)[(a+b)²-3ab]≥(a+b)ab>2ab,所以ab<1.

又a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)[(a+b)²-3ab]>2(2²-3ab),且a³+b³=2,

所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,故a+b≤2(以下略).