问题
解答题
若数列An=a1，a2，…，an（n≥2）满足|an+1-a1|=1（k=1，2，…，n-1），数列An为E数列，记S（An）=a1+a2+…+an，
（Ⅰ）写出一个满足a1=a5=0，且S(A5)＞0的E数列An；
（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。
答案
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以
，
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列，
所以a2000=12+（2000-1）×1=2011；
充分性，由于a2000-a1999≤1，
a1999-a1998≤1，
……
a2-a1≤1，
所以a2000-a1≤1999，即a2000≤a1+1999，
又因为a1=12，a2000=2011，
所以a2000=a1+1999，
故
，即An是递增数列；
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
，则
，
因为
，
……，
，
所以
因为
，所以1-ck为偶数（k=1，…，n-1），
所以
为偶数，
所以要使
，必须使
为偶数，
即4整除n（n-1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*），
当n=4m+1（m∈N*）时，E数列An的项满足
，
时，有
；
时，有
；
当n=4m+1（m∈N*）时，E数列An的项满足，
；
当n=4m+2或n=4m+3（m∈N）时，n（m-1）不能被4整除，
此时不存在E数列An，使得
。