问题
填空题
设函数f(x)=log
①函数f(|x|)为偶函数; ②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1; ③函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数; ④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|; 则正确命题的序号是______. |
答案
∵f(x)=log
x1 2
∴①函数f(|x|)为偶函数,此命题正确,因为f(-x)=log
|-x|=log1 2
|x|=f(x)此函数是一个偶函数,命题是正确命题;1 2
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1,此命题是正确命题,因为|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,故有f(a)+f(b)=0,即log
a+log1 2
b=0,故有ab=1;1 2
③函数f(-x2+2x)的定义域是(0,2),故复合函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数错;
④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|,此命题,因为由题意f(1+a)<0,f(1-a)>0,若有|f(1+a)|<|f(1-a)|成立,则f(1+a)+f(1-a)>0,即f(1-a2)>0,即1-a2∈(0,1)显然成立;
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④