问题
解答题
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因； （2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围． |
答案
（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x1≠x2，则
f（
）-x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]=a(1 2
)2-x1+x2 2
（ax12-ax22）=-1 2
＜0，…2分a(x1-x2)2 4
∴f（
）＜x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]，…4分1 2
∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（
）＞x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]，…8分1 2
即loga
＞x1+x2 2
（logax1+logax2）=loga1 2
①…10分x1x2
∵x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，
∴(
)2-x1x2=x1+x2 2
＞0，即(x1-x2)2 4
＞x1+x2 2
…12分x1x2
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分