问题
解答题
已知f(x)=log2
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(
（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解． |
答案
（1）f(-x)=log2
=log21+(-x) 1-(-x)
=log2(1-x 1+x
)-1=-log21+x 1-x
=-f(x)1+x 1-x
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg
+lg 1-a 1+a
=lg 1-b 1+b
，1-a-b+ab 1+a+b+ab
f（
）=lg a+b 1+ab
=lg 1- a+b 1+ab 1+ a+b 1+ab
，∴f（a）+f（b）=f（ 1+ab-a-b 1+ab+a+b
）．a+b 1+ab
（3）设-1＜x＜1，△x=x2-x1＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log2
-log21+x2 1-x2
=log21+x1 1-x1 (1-x1)(1+x2) (1+x1)(1-x2)
因为1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0所以
＞1(1-x1)(1+x2) (1+x1)(1-x2)
所以 △y=log2
＞0所以函数 f(x)=log2(1-x1)(1+x2) (1+x1)(1-x2)
在（-1，1）上是增函数．1+x 1-x
从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．